寻求经济学之彼岸

  离散贴现与连续贴现

邹铁钉

一、无限生命假设

     人大都基于当期而安排自己终生消费问题已获的效用最大化，为了能够解决人的寿命差异带来的模型分析不一致性问题，不得不引进“无限生命假说”，该假说继承了戴蒙德经济逻辑，认为社会由数量固定的众多家庭构成，而单个家庭的人口通过传承接待的方式按固定比率自我扩大再生产，从而单个家庭演变成有单体生命特征的消费行为，并且在效用最大化和无限生命假设下进行判断和预期。

二、贴现的分类

     贴现包括价值贴现和资金贴现，基于贴现时间单位的特征不同具体体现方式可分为离散贴现和连续贴现两种。

二、离散贴现

     如果时间单位是一段一段的时间，且不同的时间单位之间存在时间间隔，那么这种时间贴现方式为离散贴现，时间单位用“时期”表示。典型离散贴现例子包括连续两期贴现和连续n期贴现。

（一）、连续两期离散贴现：

     假设当期0期的投资价值（资金）为R₀，连续下一期的收益价值为R₁，则贴现率r= （R₁- R₀）/ R₀ 。

（二）、连续多期离散贴现

     假设当期0期的投资价值（资金）为R₀，连续下第一期的收益价值为R₁、贴现率为r₁，连续下第二期的收益价值为R₂、贴现率为r₂，连续下第三期的收益价值为R₃、贴现率为r₃，……连续下第n期的收益价值为R_n、贴现率为r_n。

    若r₁ ≠r₂≠r₃≠……≠r_n ，则下第n期的收益价值R_n的现值贴现为R_n/[(1+r₁)( 1+r₂)( 1+r₃)…(1+r_n)]，不同时期价值的现值贴现之和R₀=Σ{ R_n/[(1+r₁)( 1+r₂)( 1+r₃)…(1+r_n)]}。

    若r₁=r₂=r=……=r_n=r ，则下第n期的收益价值R_n的现值贴现为R_n/(1+r)ⁿ，不同时期价值的现值贴现之和R₀=Σ{ R_n/(1+r)ⁿ}。若n期的收益都相等，即：R₁ =R₂ =R₃=…=R_n=R，则R₀=Σ{ R_n/(1+r)ⁿ}=R/r，所以，R_n的现值=Σ{ R_n/(1+r)ⁿ}=R/r[1-1/(1+r)ⁿ]= R₀[1-1/(1+r)ⁿ]。

三、连续贴现

     如果时间单位是一点一点连接起来的时刻，并且可以用具体数字描述的时间贴现则为连续时间贴现。时间t可以从初始时刻0起取用任何>0的实数来表示，时间o时的初始价值现值为W(0)，假设时间t时的投资价值为W(t)，则时间t时的投资价值演变成W(t+△t)，则从时间0到时间t的时刻跨度为△t，投资价值增量为△W=W(t+△t)- W(t)，则单位时间内投资价值的平均增值为△W/△t =[W(t)- W(0)]/△t：投资价值在时刻t时的贴现率r(t)=Lim{[W(t)- W(0)]/△t}/ W(t)。

     其中：r(t)=Lim{[W(t)- W(0)]/△t}/ W(t)=[d W(t)/ dt]/ W(t)

      即：r(t) =d{Ln W(t)}/ dt

      变形为：Ln W(t)= Ln W(0)+ r(t)的积分

      令h(t)= r(t)的积分

           W(t) = W(0)e^{- h(t)}

     若贴现率为固定的常数，即：r(t)=r，则r(t)的积分= h(t)= rt

     则贴现公式可变为：W(0) = W(t)e^-rt，

若把所有时刻点t上的投资收益值贴现为总现值，则贴现公式为:

     全部时刻t上的投资收益现值总值W= W(t)e^-rt的积分

若全部时刻t的现值贴现完全相等，贴现值都是W(0)=m，则全部时刻t上的投资收益现值总值W= W(0)/r=m/r。